趣味数学 · WonderLab

趣味数学：随机跳跃长出谢尔宾斯基三角形，科赫雪花的无限周长，随风摇摆的分形树，三维莫比乌斯带上的蚂蚁、涂色与剪开，黄金分割小游戏与无限放大的螺旋，向日葵的黄金角。

学科：数学 · 适用学段：初中、高中 · 知识点：分形、莫比乌斯带、黄金分割、叶序

章节内容

玩一个游戏：在三角形里随便取一点，然后不断重复——随机选一个顶点，向它跳一半的距离，打一个点。

每一步都是随机的，可几万个点打下来，出现的却是一个精致而规整的图形：谢尔宾斯基三角形。它的每一小块都和整体一模一样，这叫自相似，是分形的标志。

从一个正三角形开始，把每条边三等分，在中间一段上向外长出一个小正三角形。对新的每条边重复这一步。

雪花的边越来越曲折：周长没有上限，面积却永远不会超过一个固定的值。

树干顶端长出两根短一些的枝条，每根枝条的顶端又长出两根……只用一条规则，就能长出一整棵树。

大自然里的树、河流、血管、闪电，都有这种“一分为二、层层缩小”的分形结构。

把一张长纸条的一端扭转半圈，再和另一端粘起来，就得到莫比乌斯带（德国数学家莫比乌斯，1858）。

它只有一个面、一条边。拖动可以旋转观察，再让蚂蚁走一走、给它涂涂色、沿中线剪开看看会发生什么。

把线段 AB 分成两段，使 AG : AB = GB : AG，这个比值约为 0.618，叫黄金比；它的倒数 φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618。

先凭眼力找找黄金分割点，再看看它和黄金螺旋、斐波那契数列的关系。

向日葵花盘上，每长出一粒新种子，就比上一粒转过一个固定的角度。

这个角度取多少，种子才能排得最密？拖动滑块试试——只差零点几度，图案就完全不同。